懸案のMac miniですが、一応使えるようにはなりました。今朝Mac miniとディスプレイを直接繋いで起動したら画面が表示されたので、ここぞとばかりに画面共有の設定をオン。その流れでひとしきりの移行作業を終えることができました。ただ、一度シャットダウンしてHDMI切り替え機につなぎなおして起動したらやっぱり映りません。まあMacBook Airの方から画面共有で操作できるようにはなったので、手も足も出なくて困ることはなさそうです。届いてすぐはHDMI切り替え機経由でも画面が映ったので、また映る日が来るといいなと思いますがいったん落ち着いたということで。
2016.11.20追記
ようやく正常になりました。全てのケーブルをつなぎ、ディスプレイの電源をオンにしてからMac miniを起動するとディスプレイを認識し、切り替え機経由でもOKに。こんな単純なことで1週間浪費した...まあ、早まって別のケーブルとかモニタとかテレビとか買わなくてよかった。
さらに追記
正常じゃなかった。画面共有だとディスプレイ認識してるのにディスプレイには何も表示されてないという事態が発生...映る時の条件がいまいちよくわからん。もうこのまま画面共有のみで使おう、そうしよう！
そして追記
Mac miniの画面が100%映る方法発見。Mac miniとモニタを、元々持っていたケーブルで直接接続→モニタ電源オン→Mac mini電源オンで完璧。つまりAmazonベーシックのHDMI-HDMIケーブルかHDMI切替器か、あるいはその両方が組み合わさった時はNGみたい。